خوب قبل از همه چیز باید با مفهوم انتگرال آشنا بشیم . همانطور که می دونیم مشتق یک تابع به صورت

تعریف میشه .

در بحث انتگرالها هدف اصلی پیدا کردن تابع اولیه ای هست که مشتق اون در دست ماست .

به فرض وقتی از تابع مشتق می گیریم به صورت : تبدیل میشه . حال جواب باید به صورت باشد .

ولی با توجه به اینکه مشتق همه توابع به صورت : به صورت هست بنا براین در حا این انتگرال می نویسیم :



خوب دوستان عزیز من این شد تعریف ساده و از روی مشتق انتگرال .

این رو در یاد داشته باشید که طبق قضایای انتگرال داریم :



تعریف انتگرال از روی نمودار :


ولی انتگرال رو میشه از روی نمودارهای توابع نیز تعرف کرد . معمولا انتگرال رو تابع مساحت نیز می نامند . یعنی اینکه برای پیدا کردن مساحت زیر منحنی ها - بین دو منحنی - حجم و ... میشه از انتگرال کمک گرفت . همه این حالتها فرمولهای خاص خودش رو داره اگر عمری باشه به مرور اونها خواهیم پرداخت .


شکل رو در نظر بگیرید با توجه به نوشته های موجود در روی شکل مساحت تابع f بین دو نقطه ی a , 0 به صورت انتگرال تابع تعریف میشه . در بحث بعدی در مورد ریمان ها و تفکیکهای هندسی بجث می کنیم .
\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi

\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi

\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}

\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}

\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}

\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}
(n عدد صحیح زوج و    \scriptstyle{n \ge 2})

\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}
(  \scriptstyle{n}  عدد صحیح فرد و    \scriptstyle{n \ge 3} )

\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}

\int_0^\infty  x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)

\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]

\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)

\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)

\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,
(\nu > 0\,)